Математическое моделирование физических процессов в

Под математическим моделированием, в узком смысле слова, понимают описание в виде уравнений и неравенств реальных физических, химических, технологических, биологических, экономических и других процессов. Для того чтобы использовать математические методы для анализа и синтеза различных процессов, необходимо уметь описать эти процессы на языке математики, то есть описать в виде системы уравнений и неравенств. В данной работе мы рассмотрим математическую модель в задачах по теории цепей Маркова. Пусть производится последовательность испытаний, в каждом из которых может осуществиться одно и только одно из k несовместных событий . Данная последовательность образует цепь Маркова если условная вероятность в (s+1) -м испытании (s= 1, 2, 3…) осуществиться событию , после того как в s-м испытании, произошло известное нам событие, зависит только от того, каким было событие, происшедшее в s-м испытании, и не изменяется от добавочных сведений о том, какие события происходили в более ранних испытаниях. Чаще всего рассматриваются однородные цепи Маркова, в которых условная вероятность появления события в (s+1)-м испытании при условии, что в s-м испытании осуществилось событие , не зависит от номера испытания. Назовем эту вероятность вероятностью перехода и обозначим буквой ; в этом обозначении первый индекс всегда будет обозначать результат предшествующего испытания, а второй индекс указывает, в какое состояние перейдет система в последующий момент времени. Полная вероятностная картина возможных изменений, осуществляющихся при переходе от одного испытания к непосредственно следующему, задается матрицейсоставленной из вероятностей перехода, называемую матрицей перехода. Рассмотрим некоторые примеры цепей Маркова и приведем их математическую модель. Пример: Представим себе, что частица, находящаяся на прямой, движется по этой прямой под влиянием случайных толчков, происходящих в моменты . Частица может находиться в точках с целочисленными координатами ; в точках находятся отражающие стенки. Каждый толчок перемещает частицу вправо с вероятностью и влево с вероятностью , если только частица не находится у стенки. Если же частица находится у стенки, то любой толчок переводит ее на единицу внутрь промежутка между стенками. Данный пример блуждания частицы представляет собой типичную цепь Маркова. Точно так же можно рассматривать случай, когда частица прилипает к одной из стенок или к обеим из них. Напишем матрицу перехода для описанного примера, для случая частицы, блуждающей между двумя отражающими стенками, это будет нашей математической моделью. Если обозначим через событие состоящее в пребывании частицы в точке с координатой , через — пребывание в точке с координатой , …, через — пребывание в точке с координатой , то матрица перехода будет такова: . Так же приведем пример математической модели в виде матрицы перехода для блуждания частицы между двумя поглощающими стенками. Обозначения событий и остальные условия сохраним те же, что и в предыдущем примере. Разница будет лишь в том, что частица, попавшая в состояния или , остается в них с вероятностью 1: .Ясно, что для решения той или иной задачи в рамках одной и той же принятой исследователем модели может быть предложено много методов. Так же в теории вероятностей и математической статистике наиболее хорошо известна история Центральной Предельной Теоремы теории вероятностей. Предельный нормальный закон был получен многими разными методами, из которых напомним теорему Муавра-Лапласа, метод моментов Чебышева, метод характеристических функций Ляпунова, завершающие эпопею методы, примененные Линдебергом и Феллером. В настоящее время для решения практически важных задач могут быть использованы современные информационные технологии на основе метода статистических испытаний и соответствующих датчиков псевдослучайных чисел. Гнеденко, теории вероятностей./ . — М.: Наука, 1969. — 400 С. Неуймин, в науке и технике. История, теория, практика./ . — Л.: Наука, 1984. -190 С.